После замужества поменяла фамилию (соотв-но паспорт), документы на машину переоформить не могу, т.е. машина на старую фамилию.
Езжу по России пока со свидетельством о браке.

Возможно ли на таком авто поездка на Украину, могут ли быть проблемы на границе?

windy, ответить на Ваш вопрос однозначно нельзя. В теории, Вы давно должны были заменить документы на машину и в / на Украину Вас могут и не пустить. На практике - как повезет.